二次形式とその行列表示の徹底解説【初心者向け】

初心者から上級者まで分かる！二次形式とその行列表示の徹底解説

二次形式とは、ベクトルを用いて定義される、次のような形の関数です。

二次形式は、一般的に次の式で表されます：

$x^{2} = x^T A x$

ここで、$ x $ はベクトル、$ A $ は対称行列で、二次形式の評価は、ベクトルを行列と掛け算する形で計算されます。

二次形式を行列形式で表現する方法は非常に重要です。まず、行列の概念から簡単に復習しましょう。

行列は、数や変数を配列したもので、ベクトルや他の行列と掛け算することができます。ここでは、$ x $ を列ベクトル、$ A $ を行列として、次のように表現します：

$f = x^T A x$

ここで、行列 $ A $ は対称行列でなければなりません。なぜなら、二次形式は対称行列に基づいて計算されるためです。

次に、具体的な二次形式の例を見ていきます。例えば、次のようなベクトルと行列があるとしましょう：

\( x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

このとき、二次形式は次のように計算できます：

$x^T A x$

計算を行うと、次のようになります：

x^T A x

具体的な計算例を見てみましょう。次のような二次形式を計算します：

次のようなベクトルと行列があります：

\( x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}

計算式は次のようになります：

$x^T A x$

この計算により、二次形式の値を求めることができます。行列演算を正しく行うことが重要です。

二次形式にはいくつかの重要な性質があります：

これらの性質を理解することは、より高度な数学や応用分野で非常に重要です。