はじめに

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本ページでは、JavaScriptを使用して以下の確率分布について分布関数（CDF）と密度関数（PDF）を計算する方法を説明します。

• 正規分布
• t分布
• カイ二乗分布
• F分布

さらに、それらの関数をグラフ化する方法についても解説し、実用的なコード例を提供します。

正規分布の分布関数と密度関数

正規分布は連続分布の中で最もよく使われる分布で、平均 μ と分散 σ² によって定義されます。

密度関数（PDF）の定義

function normalPDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const coeff = 1 / (Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma);
    const exponent = -Math.pow(x - mu, 2) / (2 * Math.pow(sigma, 2));
    return coeff * Math.exp(exponent);
}
        

分布関数（CDF）の近似

function normalCDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const z = (x - mu) / (Math.sqrt(2) * sigma);
    const t = 1 / (1 + 0.3275911 * Math.abs(z));
    const erf = 1 - (((((1.061405429 * t - 1.453152027) * t) + 1.421413741) * t - 0.284496736) * t + 0.254829592) * t * Math.exp(-z * z);
    return z >= 0 ? (1 + erf) / 2 : (1 - erf) / 2;
}
        

例：正規分布のグラフを描画

以下は、正規分布のPDFを描画する例です。

const data = Array.from({ length: 100 }, (_, i) => -5 + i * 0.1);
const pdfValues = data.map(x => normalPDF(x));
console.log(pdfValues);
        

t分布の分布関数と密度関数

t分布は、母分散が未知の場合のサンプル平均の分布として重要です。

密度関数（PDF）の定義

function tPDF(x, v) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const coeff = gamma((v + 1) / 2) / (Math.sqrt(v * Math.PI) * gamma(v / 2));
    return coeff * Math.pow(1 + (x * x) / v, -(v + 1) / 2);
}
        

例：t分布のPDFを描画

const data = Array.from({ length: 100 }, (_, i) => -5 + i * 0.1);
const pdfValues = data.map(x => tPDF(x, 10)); // 自由度10
console.log(pdfValues);
        

カイ二乗分布の分布関数と密度関数

カイ二乗分布は、分散分析や適合度検定で使用される重要な分布です。

密度関数（PDF）の定義

function chiSquarePDF(x, k) {
    if (x < 0) return 0;
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const coeff = 1 / (Math.pow(2, k / 2) * gamma(k / 2));
    return coeff * Math.pow(x, k / 2 - 1) * Math.exp(-x / 2);
}
        

F分布の分布関数と密度関数

F分布は、分散分析で使用される分布です。

密度関数（PDF）の定義

function fPDF(x, d1, d2) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const numerator = gamma((d1 + d2) / 2) * Math.pow(d1 / d2, d1 / 2) * Math.pow(x, d1 / 2 - 1);
    const denominator = gamma(d1 / 2) * gamma(d2 / 2) * Math.pow(1 + (d1 * x) / d2, (d1 + d2) / 2);
    return numerator / denominator;
}
        

グラフ描画の実装方法

JavaScriptでグラフを描画するには、Chart.js や Plotly といったライブラリを使用すると便利です。

まとめ

本記事では、JavaScriptを使用して正規分布、t分布、カイ二乗分布、F分布の分布関数と密度関数を計算し、さらにグラフ化する方法を説明しました。これらの手法を活用すれば、統計的解析をWebアプリケーションに取り込むことが可能です。

正規分布の数式と実装

正規分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

$$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x–\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

ここで：

• $\mu$ は平均
• $\sigma$ は標準偏差
• $x$ は確率変数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function normalPDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const coeff = 1 / (Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma);
    const exponent = -Math.pow(x - mu, 2) / (2 * Math.pow(sigma, 2));
    return coeff * Math.exp(exponent);
}
        

プログラム内では、$\sqrt{2\pi }\sigma$ の計算を Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma として実現し、指数関数部分 $\exp (-\frac{(x–\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$ を Math.exp() 関数で実装しています。

t分布の数式と実装

t分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

$$f(x;v)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{v}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{v})}^{-\frac{v+1}{2}}$$

ここで：

• $v$ は自由度
• $\mathrm{\Gamma }$ はガンマ関数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function tPDF(x, v) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const coeff = gamma((v + 1) / 2) / (Math.sqrt(v * Math.PI) * gamma(v / 2));
    return coeff * Math.pow(1 + (x * x) / v, -(v + 1) / 2);
}
        

プログラム内では、ガンマ関数 $\mathrm{\Gamma }$ を再帰的に計算しています。また、${(1+\frac{x^2}{v})}^{-\frac{v+1}{2}}$ の計算を Math.pow() 関数で表現しています。

カイ二乗分布の数式と実装

カイ二乗分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

$$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{k/2–1}{e}^{-x/2}(x\ge 0)$$

ここで：

• $k$ は自由度
• $\mathrm{\Gamma }$ はガンマ関数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function chiSquarePDF(x, k) {
    if (x < 0) return 0;
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const coeff = 1 / (Math.pow(2, k / 2) * gamma(k / 2));
    return coeff * Math.pow(x, k / 2 - 1) * Math.exp(-x / 2);
}
        

プログラム内では、$x^{k/2–1}{e}^{-x/2}$ をそれぞれ Math.pow() と Math.exp() で計算し、負の $x$ に対しては 0 を返すように条件分岐を加えています。

F分布の数式と実装

F分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

$$f(x;d_1,d_2)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_2}{2}\right)}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^{d_1/2}{x}^{d_1/2–1}{(1+\frac{d_1}{d_2}x)}^{-(d_1+d_2)/2}$$

ここで：

• $d_1$, $d_2$ は自由度

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function fPDF(x, d1, d2) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const numerator = gamma((d1 + d2) / 2) * Math.pow(d1 / d2, d1 / 2) * Math.pow(x, d1 / 2 - 1);
    const denominator = gamma(d1 / 2) * gamma(d2 / 2) * Math.pow(1 + (d1 * x) / d2, (d1 + d2) / 2);
    return numerator / denominator;
}