はじめに

本ページでは、JavaScriptを使用して以下の確率分布について分布関数（CDF）と密度関数（PDF）を計算する方法を説明します。

• 正規分布
• t分布
• カイ二乗分布
• F分布

さらに、それらの関数をグラフ化する方法についても解説し、実用的なコード例を提供します。

正規分布の分布関数と密度関数

正規分布は連続分布の中で最もよく使われる分布で、平均 μ と分散 σ² によって定義されます。

密度関数（PDF）の定義

function normalPDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const coeff = 1 / (Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma);
    const exponent = -Math.pow(x - mu, 2) / (2 * Math.pow(sigma, 2));
    return coeff * Math.exp(exponent);
}
        

分布関数（CDF）の近似

function normalCDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const z = (x - mu) / (Math.sqrt(2) * sigma);
    const t = 1 / (1 + 0.3275911 * Math.abs(z));
    const erf = 1 - (((((1.061405429 * t - 1.453152027) * t) + 1.421413741) * t - 0.284496736) * t + 0.254829592) * t * Math.exp(-z * z);
    return z >= 0 ? (1 + erf) / 2 : (1 - erf) / 2;
}
        

例：正規分布のグラフを描画

以下は、正規分布のPDFを描画する例です。

const data = Array.from({ length: 100 }, (_, i) => -5 + i * 0.1);
const pdfValues = data.map(x => normalPDF(x));
console.log(pdfValues);
        

t分布の分布関数と密度関数

t分布は、母分散が未知の場合のサンプル平均の分布として重要です。

密度関数（PDF）の定義

function tPDF(x, v) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const coeff = gamma((v + 1) / 2) / (Math.sqrt(v * Math.PI) * gamma(v / 2));
    return coeff * Math.pow(1 + (x * x) / v, -(v + 1) / 2);
}
        

例：t分布のPDFを描画

const data = Array.from({ length: 100 }, (_, i) => -5 + i * 0.1);
const pdfValues = data.map(x => tPDF(x, 10)); // 自由度10
console.log(pdfValues);
        

カイ二乗分布の分布関数と密度関数

カイ二乗分布は、分散分析や適合度検定で使用される重要な分布です。

密度関数（PDF）の定義

function chiSquarePDF(x, k) {
    if (x < 0) return 0;
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const coeff = 1 / (Math.pow(2, k / 2) * gamma(k / 2));
    return coeff * Math.pow(x, k / 2 - 1) * Math.exp(-x / 2);
}
        

F分布の分布関数と密度関数

F分布は、分散分析で使用される分布です。

密度関数（PDF）の定義

function fPDF(x, d1, d2) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1);
    const numerator = gamma((d1 + d2) / 2) * Math.pow(d1 / d2, d1 / 2) * Math.pow(x, d1 / 2 - 1);
    const denominator = gamma(d1 / 2) * gamma(d2 / 2) * Math.pow(1 + (d1 * x) / d2, (d1 + d2) / 2);
    return numerator / denominator;
}
        

グラフ描画の実装方法

JavaScriptでグラフを描画するには、Chart.js や Plotly といったライブラリを使用すると便利です。

まとめ

本記事では、JavaScriptを使用して正規分布、t分布、カイ二乗分布、F分布の分布関数と密度関数を計算し、さらにグラフ化する方法を説明しました。これらの手法を活用すれば、統計的解析をWebアプリケーションに取り込むことが可能です。

正規分布の数式と実装

正規分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

\[ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp\left(-\frac{(x – \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \]

ここで：

• \( \mu \) は平均
• \( \sigma \) は標準偏差
• \( x \) は確率変数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function normalPDF(x, mu = 0, sigma = 1) {
    const coeff = 1 / (Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma);
    const exponent = -Math.pow(x - mu, 2) / (2 * Math.pow(sigma, 2));
    return coeff * Math.exp(exponent);
}
        

プログラム内では、\(\sqrt{2 \pi} \sigma\) の計算を Math.sqrt(2 * Math.PI) * sigma として実現し、指数関数部分 \(\exp\left(-\frac{(x – \mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\) を Math.exp() 関数で実装しています。

t分布の数式と実装

t分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

\[ f(x; v) = \frac{\Gamma\left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v \pi} \Gamma\left(\frac{v}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{v}\right)^{-\frac{v+1}{2}} \]

ここで：

• \( v \) は自由度
• \( \Gamma \) はガンマ関数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function tPDF(x, v) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const coeff = gamma((v + 1) / 2) / (Math.sqrt(v * Math.PI) * gamma(v / 2));
    return coeff * Math.pow(1 + (x * x) / v, -(v + 1) / 2);
}
        

プログラム内では、ガンマ関数 \(\Gamma\) を再帰的に計算しています。また、\(\left(1 + \frac{x^2}{v}\right)^{-\frac{v+1}{2}}\) の計算を Math.pow() 関数で表現しています。

カイ二乗分布の数式と実装

カイ二乗分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

\[ f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2 – 1} e^{-x/2} \quad (x \geq 0) \]

ここで：

• \( k \) は自由度
• \( \Gamma \) はガンマ関数

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function chiSquarePDF(x, k) {
    if (x < 0) return 0;
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const coeff = 1 / (Math.pow(2, k / 2) * gamma(k / 2));
    return coeff * Math.pow(x, k / 2 - 1) * Math.exp(-x / 2);
}
        

プログラム内では、\( x^{k/2 – 1} e^{-x/2} \) をそれぞれ Math.pow() と Math.exp() で計算し、負の \( x \) に対しては 0 を返すように条件分岐を加えています。

F分布の数式と実装

F分布の確率密度関数（PDF）は以下の数式で定義されます：

\[ f(x; d_1, d_2) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1 + d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{d_1/2} x^{d_1/2 – 1} \left(1 + \frac{d_1}{d_2} x\right)^{-(d_1 + d_2)/2} \]

ここで：

• \( d_1 \), \( d_2 \) は自由度

この数式をJavaScriptで実装すると以下のようになります：

function fPDF(x, d1, d2) {
    const gamma = n => (n === 1) ? 1 : (n - 1) * gamma(n - 1); // 簡易ガンマ関数
    const numerator = gamma((d1 + d2) / 2) * Math.pow(d1 / d2, d1 / 2) * Math.pow(x, d1 / 2 - 1);
    const denominator = gamma(d1 / 2) * gamma(d2 / 2) * Math.pow(1 + (d1 * x) / d2, (d1 + d2) / 2);
    return numerator / denominator;
}