逆関数とは？

逆関数とは、ある関数 \( y = f(x) \) に対して、その逆の関係を持つ関数 \( x = f^{-1}(y) \) を指します。例えば、関数 \( f(x) = x^2 \) の逆関数は \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \) となります（ただし \( x \geq 0 \) の場合）。

解析的に逆関数を求める

数学的に解ける場合は、式を変形して逆関数を求めます。例えば、

    f(x) = 3x + 2
    y = 3x + 2
    逆関数を求めるには、xについて解く:
    x = (y - 2) / 3
    

これが逆関数 \( f^{-1}(y) \) となります。

数値計算による逆関数の求め方

解析的に求めることが難しい場合、数値計算によって近似的に逆関数を求めます。例えば、反復計算を用いる方法が一般的です。

ニュートン法を用いた逆関数の計算

ニュートン法を用いると、逆関数の値を数値的に求めることができます。ニュートン法は以下の式を繰り返し適用して解を求めます：

\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n) – y}{f'(x_n)} \]

C#での実装例

以下はニュートン法を用いて逆関数を求めるC#のサンプルコードです。

    using System;

    class Program
    {
        static double Function(double x) => x * x + x - 6;
        static double FunctionDerivative(double x) => 2 * x + 1;

        static double NewtonMethod(double y, double initialGuess = 1.0, double tol = 1e-6, int maxIter = 100)
        {
            double x = initialGuess;
            for (int i = 0; i < maxIter; i++)
            {
                double fx = Function(x) - y;
                double dfx = FunctionDerivative(x);
                if (Math.Abs(fx) < tol) break;
                x -= fx / dfx;
            }
            return x;
        }

        static void Main()
        {
            double y = 2.0;
            double x = NewtonMethod(y);
            Console.WriteLine($"逆関数の値: {x}");
        }
    }
    

このコードでは、関数 \( f(x) = x^2 + x - 6 \) に対する逆関数の近似解を求めています。