• はじめに
• 微分方程式の基本概念
• オイラー法
• ルンゲ・クッタ法
• グラフ表示
• まとめ

はじめに

微分方程式は物理や経済学、工学などの分野で広く使われています。本記事では、C++を用いて基本的な微分方程式を数値的に解く方法を解説し、グラフで結果を可視化する方法も紹介します。

微分方程式の基本概念

微分方程式は、関数とその導関数の関係を記述する方程式です。最も基本的な形は以下のようになります。

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

例えば、指数関数の微分方程式は \( \frac{dy}{dx} = y \) です。

オイラー法

オイラー法は最も単純な数値解法の一つです。次のように近似計算を行います。

\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \]

以下はオイラー法を使ったC++の実装例です。

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x, double y) {
    return y; // dy/dx = y
}

void euler(double x0, double y0, double h, int n) {
    double x = x0, y = y0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        y = y + h * f(x, y);
        x = x + h;
        cout << "x: " << x << ", y: " << y << endl;
    }
}

int main() {
    euler(0, 1, 0.1, 10);
    return 0;
}
    

ルンゲ・クッタ法

オイラー法よりも精度の高い方法としてルンゲ・クッタ法（特に4次のもの）がよく使われます。

その基本的な形式は次のようになります。

\[ k_1 = h f(x_n, y_n) \]

\[ k_2 = h f(x_n + h/2, y_n + k_1/2) \]

\[ k_3 = h f(x_n + h/2, y_n + k_2/2) \]

\[ k_4 = h f(x_n + h, y_n + k_3) \]

\[ y_{n+1} = y_n + \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6} \]

以下はルンゲ・クッタ法を用いたC++の実装例です。

void rungeKutta(double x0, double y0, double h, int n) {
    double x = x0, y = y0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double k1 = h * f(x, y);
        double k2 = h * f(x + h/2, y + k1/2);
        double k3 = h * f(x + h/2, y + k2/2);
        double k4 = h * f(x + h, y + k3);
        y = y + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6;
        x = x + h;
        cout << "x: " << x << ", y: " << y << endl;
    }
}
    

グラフ表示

数値計算の結果を視覚的に確認するために、Pythonのmatplotlibを使ってC++の出力をプロットする方法を紹介します。

import matplotlib.pyplot as plt

x_values = []
y_values = []

with open("data.txt", "r") as file:
    for line in file:
        x, y = map(float, line.split())
        x_values.append(x)
        y_values.append(y)

plt.plot(x_values, y_values, marker="o")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("微分方程式の解")
plt.grid()
plt.show()
    

まとめ

本記事では、C++での微分方程式の基本的な解法としてオイラー法とルンゲ・クッタ法を紹介しました。また、Pythonを使って結果を可視化する方法についても説明しました。これらの手法を応用すれば、より複雑な問題にも対応できるようになります。